Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Точки $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $C$ на прямые, содержащие биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle ABC$ соответственно. Докажите, что прямые $AB$ и $PQ$ — параллельны.

Комментарий/решение

$X$ - Точка пересечения биссектрис , тогда четырёхугольник $XQPC$ описанный , откуда углы $\angle QPC=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}$ и $\angle PQC = 90^{\circ} - \frac{\angle ABC}{2}$ . Тогда если продлить $PQ$ до пересечения со сторонами $AC$ и $BC$ , обозначим точки пересечения $X$ И $Y$ соответственно , то получим что $\angle CPX = 180^{\circ} - \angle QPC - \angle ABC = \angle BAC$ , так же и с другим углом , проучим что $PQ || AB$ .