Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Найдите действительные числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{2003}$, любое из которых равно сумме квадратов остальных чисел.

Комментарий/решение

$$\begin{cases} x^2_1=x^2_2+...+x^2_{2003} \\ x^2_2=x^2_1+x^2_3...+x^2_{2003} \\ ........................\\ x^2_{2003}=x^2_1+...+x^2_{2002}\end{cases}$$

$$S=\sum_{i=1}^{2003}x^2_i \Rightarrow 2x^2_j=S,\quad j=1,2,...,2003$$

$$\sum_{i=1}^{2003}2x^2_j=\sum_{i=1}^{2003}S \Rightarrow 2\sum_{i=1}^{2003}x^2_j=S\sum_{i=1}^{2003}1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 2S=(1+2+3+...+2003)S\Rightarrow S=0$$

$$\sum_{i=1}^{2003}x^2_i =0$$

$$x^2_i\geq 0, \quad x^2_i=0 \Leftrightarrow x_i=0$$

$$\sum_{i=1}^{2003}x^2_i \geq 0 , \quad \sum_{i=1}^{2003}x^2_i=0 \Leftrightarrow x_i=0, \quad i=1,2,..,2003$$

$$(x_1,x_2,x_3,...,x_{2002},x_{2003})=(0,0,0,...,0,0)$$

Вы решили не совсем ту задачу. Прочитайте внимательно. ЧИСЛО равно сумме квадратов. Вы же решили КВАДРАТ ЧИСЛА равен сумме квадратов.

Ответ: $x_1=x_2=\ldots=x_{2003}=0$ и $x_1=x_2=\ldots=x_{2003}=\dfrac{1}{2002}$

Решение: Пусть $x_1=x_2=\ldots=x_{2003}=x$ Получаем уравнение $x=2002x^2$, из которго следует ответ. Покажем, что если какие то два элемента $x_i$ и $x_j$ не равны, то корней не будет.

для $x_1$: $$x_1={x_2}^2+\sum \limits_{i=3}^{2003}{{x_2}^2}$$ для $x_2$: $$x_2={x_1}^2+\sum \limits_{i=3}^{2003}{{x_2}^2}$$ Из первого уравнения вычтем второе и получим $x_1-x_2={x_2}^2-{x_1}^2$ , Откуда , сократив на $x_1-x_2$ , имеем $x_1+x_2=-1$. Этого не может быть, ведь оба эти числа положительны. Потому что они равны сумме квадратов, каждый квадрат неотрицателен