Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Жасыл хамелеон әрқашан шындықты айтады, ал қоңыр хамелеон өтірік айтады да, содан кейін жасыл түске айналады. 2019 хамелеондардың әрқайсысы «Араларыңда дәл қазір қанша хамелеон жасыл?» деген сұраққа кезекпен жауап берді. Сонда жауаптар 1, 2, 3, $\ldots,$ 2019 сандары болған (қандай-да бір ретте, міндетті түрде жоғарыда айтылғандай емес). Бастапқыда ең көп дегенде қанша жасыл хамелеон болуы мүмкін? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 1010.
Решение. Оценка. Присвоим хамелеону, высказавшемуся первым, номер 1, высказавшемуся вторым — номер 2 и т.д. Разобьем хамелеонов на пары: 1 с 2, 3 с 4, $\ldots,$ 2017 с 2018. Получим 1009 пар и одиночного хамелеона 2019. Оба хамелеона из одной пары не могут быть зелеными, так как тогда они назвали бы одинаковые числа. Поэтому зеленых хамелеонов не более 1010. Пример. Пусть все нечетные хамелеоны — зеленые, четные — коричневые. Первый говорит — 1010, второй — 1 и становится зеленым. Тогда третий говорит — 1011, четвертый — 2 и т. д. Нечетные произнесут все числа от 1010 до 2019, а четные — от 1 до 1009.