Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 140.
Решение. Если Петя выберет числа 12,120,120,…,120, то как бы ни расставлял эти числа Вася соседними числами окажутся 12 и 120. Значит, одно из произведений будет равно 140, а остальные будут не больше его. Тогда на доске окажется 140.
Покажем, как Вася может для любых чисел получить на доске число, не большее 140. Перенумеруем числа в порядке убывания: x1≥x2≥…≥x11. Расставим их в ряд следующим образом: x1,x11,x2,x10,x3,x9,x4,x8,x5,x7,x6. Тогда произведениями соседних чисел будут:
x1x11≥x11x2, x2x10≥x10x3, x3x9≥x9x4, x4x8≥x8x5, x5x7≥x7x6.
Покажем, что они будут не больше 140. Для этого будем пользоваться двумя соображениями: среднее арифметическое нескольких чисел не меньше наименьшего из них и x(1−x)≤14. Достаточно оценить x1x11, x2x10, x3x9, x4x8 и x5x7:
x1x11≤x1⋅x2+x3+…+x1110=x1(1−x1)10≤140,
x2x10≤x1+x22⋅x3+x4+…+x108≤(x1+x2)(1−(x1+x2))16≤164<140,
x3x9≤x1+x2+x33⋅x4+x5+…+x96≤(x1+x2+x3)(1−(x1+x2+x3))18≤172<140,
x4x8≤x1+x2+x3+x44⋅x5+x6+x7+x84≤(x1+x2+x3+x4)(1−(x1+x2+x3+x4))16≤164<140,
x5x7≤x1+x2+…+x55⋅x6+x72≤(x1+x2+…+x5)(1−(x1+x2+…+x5))10≤140.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.