Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа

Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{11},$ что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи? ( А. Храбров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $\frac{1}{40}.$
Решение. Если Петя выберет числа $\frac{1}{2},\frac{1}{20},\frac{1}{20},\ldots ,\frac{1}{20},$ то как бы ни расставлял эти числа Вася соседними числами окажутся $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{20}.$ Значит, одно из произведений будет равно $\frac{1}{40},$ а остальные будут не больше его. Тогда на доске окажется $\frac{1}{40}.$ Покажем, как Вася может для любых чисел получить на доске число, не большее $\frac{1}{40}.$ Перенумеруем числа в порядке убывания: $x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_{11}.$ Расставим их в ряд следующим образом: ${{x}_{1}},{{x}_{11}},{{x}_{2}},{{x}_{10}},{{x}_{3}},{{x}_{9}},{{x}_{4}},{{x}_{8}},{{x}_{5}},{{x}_{7}},{{x}_{6}}.$ Тогда произведениями соседних чисел будут: \[{{x}_{1}}{{x}_{11}}\ge {{x}_{11}}{{x}_{2}},\ {{x}_{2}}{{x}_{10}}\ge {{x}_{10}}{{x}_{3}},\ {{x}_{3}}{{x}_{9}}\ge {{x}_{9}}{{x}_{4}},\ {{x}_{4}}{{x}_{8}}\ge {{x}_{8}}{{x}_{5}},\ {{x}_{5}}{{x}_{7}}\ge {{x}_{7}}{{x}_{6}}.\] Покажем, что они будут не больше $\frac{1}{40}.$ Для этого будем пользоваться двумя соображениями: среднее арифметическое нескольких чисел не меньше наименьшего из них и $x(1-x)\le \frac{1}{4}.$ Достаточно оценить $x_1x_{11},$ $x_2x_{10},$ $x_3x_9,$ $x_4x_8$ и $x_5x_7$: \[{{x}_{1}}{{x}_{11}}\le {{x}_{1}}\cdot \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+\ldots +{{x}_{11}}}{10}=\frac{{{x}_{1}}(1-{{x}_{1}})}{10}\le \frac{1}{40},\] \[{{x}_{2}}{{x}_{10}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}\cdot \frac{{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+\ldots +{{x}_{10}}}{8}\le \frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})(1-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}))}{16}\le \frac{1}{64}<\frac{1}{40},\] \[{{x}_{3}}{{x}_{9}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3}\cdot \frac{{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+\ldots +{{x}_{9}}}{6}\le \frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}})(1-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}))}{18}\le \frac{1}{72}<\frac{1}{40},\] \[{{x}_{4}}{{x}_{8}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}}{4}\cdot \frac{{{x}_{5}}+{{x}_{6}}+{{x}_{7}}+{{x}_{8}}}{4}\le \frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}})(1-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}))}{16}\le \frac{1}{64}<\frac{1}{40},\] \[{{x}_{5}}{{x}_{7}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{5}}}{5}\cdot \frac{{{x}_{6}}+{{x}_{7}}}{2}\le \frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{5}})(1-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{5}}))}{10}\le \frac{1}{40}.\]