Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур регионального этапа
Периметр треугольника ABC равен 2. На стороне AC отмечена точка P, а на отрезке CP — точка Q так, что 2AP=AB и 2QC=BC. Докажите, что периметр треугольника BPQ больше 1.
(
А. Кузнецов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Положим AB=c, AC=b, BC=a. Нам требуется доказать, что BP+BQ+PQ>1=(a+b+c)/2. Поскольку PQ=AC−AP−CQ=b−(a+c)/2, надо доказать, что BP+BQ>(a+b+c)/2−b+(a+c)/2=a+c−b/2.
Обозначим через M и N середины сторон AB и BC соответственно, а через R и S такие точки на лучах AC и CA соответственно, что AR=AB, CS=CB. Заметим, что BP=RM как медианы из вершин основания равнобедренного треугольника BAR. Аналогично, BQ=SN. Осталось заметить, что сумма SN+RM диагоналей трапеции RNMS больше суммы ее оснований SR+MN=(AR+CS−AC)+AC/2=(c+a−b)−b/2=a+c−b/2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.