Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур регионального этапа


Периметр треугольника ABC равен 2. На стороне AC отмечена точка P, а на отрезке CP — точка Q так, что 2AP=AB и 2QC=BC. Докажите, что периметр треугольника BPQ больше 1. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Положим AB=c, AC=b, BC=a. Нам требуется доказать, что BP+BQ+PQ>1=(a+b+c)/2. Поскольку PQ=ACAPCQ=b(a+c)/2, надо доказать, что BP+BQ>(a+b+c)/2b+(a+c)/2=a+cb/2.
   Обозначим через M и N середины сторон AB и BC соответственно, а через R и S такие точки на лучах AC и CA соответственно, что AR=AB, CS=CB. Заметим, что BP=RM как медианы из вершин основания равнобедренного треугольника BAR. Аналогично, BQ=SN. Осталось заметить, что сумма SN+RM диагоналей трапеции RNMS больше суммы ее оснований SR+MN=(AR+CSAC)+AC/2=(c+ab)b/2=a+cb/2.