Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур регионального этапа

По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не могло.
Решение. Допустим, $r$ — указанный в условии остаток. Тогда каждое из стоящих по кругу чисел больше $r.$ Значит, неполное частное при каждом из делений с остатком больше 0, и потому каждое из чисел больше следующего за ним по часовой стрелке. Но такое невозможно, так как, начав с некоторого числа $a$ и обойдя по часовой стрелке круг, мы обнаружим, что число, за которым по часовой стрелке следует $a,$ меньше, чем $a,$ а должно быть больше.