Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып
Комментарий/решение:
На самом деле можно доказать, что для любого целого k существует целое m, что P(m)=k.
Факт 1:
Eсли коэффиценты P(x) целые, то P(a)−P(b)≡0 (mod a−b).
(Этот факт часто используется когда коэффиценты многочлена целые)
Пусть m1,m2,…,m10 такие целые числа, что P(mi)=i для каждого 1≤i≤10.
Утверждение 1:
Числа {mi} последовательные.
Доказательство:
1=P(mi+1)−P(mi)≡0(mod mi+1−mi)
Поэтому mi+1=mi±1
Если m2=m1+1, то m3=m2+1,m4=m3+1 и т.д.
Если же m2=m1−1, то m3=m2−1,m4=m3−1 и т.д.
Утверждение 2:
P(x+1)−P(x)=1, если {mi} возрастающая.
P(x−1)−P(x)=1, если {mi} убывающая.
Доказательство:
Разберем только первый случай, потому что второй ему аналогичен.
1. Случай: Последовательность {mi} возрастающая.
Рассмотрим многочлен Q(x)=P(x+1)−P(x), тогда степень Q не больше n−1≤9 и коэффиценты Q целые.
Мы знаем, что Q(mi)=1 при всех i=1,2,…,9, значит
Q(x)=a(x−m1)(x−m1−1)...(x−m1−8)+1 для какого-то целого числа a.
Тогда |P(10)−P(0)|=|Q(9)+Q(8)+...+Q(0)|=|9∑i=0a(i−m1)(i−m1−1)...(i−m1−8)+10|=|9∑i=0a(m1−i)(m1+1−i)...(m1+8−i)−10|.
Обозначим S=|9∑i=0(m1−i)(m1+1−i)...(m1+8−i)|, тогда по условию |aS−10|<10000⇔−10000+10<aS<10000+10
Докажем, что при a≠0 это условие не выполняется.
Заметим, что если m1≥10, то каждое слагаемое в S делится 9! и не равно нулю, поэтому |aS|≥|S|>9!>10010
Аналогично, при m1≤−10, каждое слагаемое в S делится на −9! и не равно 0, поэтому |aS|≥|S|>9!>10010
Если же −10<m1<10, то абсолютно все слагаемые будут либо не отрицательными, либо не положительными и среди них обязательно найдется хотя бы одно не равное нулю. Также все слагаемые делятся на 9!, поэтому |aS|≥|S|>9!>10010
Значит, при a≠0 мы получаем противоречие, тогда a=0, а P(x+1)−P(x)=1(∗)
Примечание: Из этого можно вывести, что P - многочлен первой степени
Завершение:
Из (*) легко получить, что:
P(m+k−1)=P(m)+k−1=k для любого целого k.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.