Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып


ω шеңбері ABC үшбұрышының A және B төбелері арқылы өтіп, оның BC және AC кесінділерін сәйкесінше D және E нүктелерінде қияды. BAD бұрышының биссектрисасы ω-ны екінші рет M нүктесінде қиып өтеді. BD және ME түзулері K нүктесінде қиылысады. K нүктесінен AM түзуіне түсірілген перпендикуляр AC түзуін N нүктесінде қисын. Онда BNK=DNK болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 1 месяца назад #

Обозначим AMBD=T,AMKN=H. Очевидно, что M середина дуги BD окружности ω. Поэтому MED=MAD=MAB=MDB. Значит, описанная окружность KED касается прямой BD, откуда MD2=MKME. Аналогично, MD2=MTMA, то есть MKME=MTMA. Значить четырехугольник ATKE вписанный.

Пусть прямая проходящая через точку E и перпендикулярная прямой ME пересекает прямую BC в точке L. Докажем, что точки K,E,N,L лежат на одной окружности.

Если L лежит на отрезке DC, то LEN=90AEK=90KTH=TKH=NKL. Следовательно, четырехугольник KENL вписан в некоторую окружность ω1 с диаметром KL.Заметим, что в BED отрезки EK и EL внутренняя и внешняя биссектрисы,то есть BKDK=BEDE=BLDL. Поэтому ω1 окружность Аполлония для точек B и D. Но так как Nω1, то BKKD=BNDN, или BNK=DNK.

Если L не лежит на отрезке DC, то LEN=AEK90=KTM90=TKH=NKL. Следовательно, четырехугольник KELN вписан в некоторую окружность ω1 с диаметром KL. Далее аналогично как в первом случае.

Замечание. Если плоскости даны две точки A и B, то геометрическое место точек (ГМТ) M, для которых AM:BM=k1 есть окружность ( окружность Аполлония).

пред. Правка 3   6
2 года 4 месяца назад #

Пусть точка G пересечение прямой KN и MO где О центр окружности w, а точка F пересечение Прямых AM и BC

Также заметим что AEKF вписан так как DM2=BM2=MKME=MFMA

Так как NK AM и MO BD, тогда KGM=AFK=KEC

Выходит что ENMG вписанный, и NKKG=MKKE, и EKKM=DKKB

Следует что GKKN=DKKB тоесть BGDN вписан, осталось доказать что GB=GD но это и так верно, ведь точка G лежит на высоте равнобедренного треугольника ODB опущенной из O где OD=OB

  1
1 года 3 месяца назад #

Пусть прямая параллельная AM, проходящая через точку N пересекает прямую DB в точке L, а прямая LE вторично пересекает ω в J. Если K - основание биссектрисы углы DNB, то (L,D;K,B)=1, поэтому спроецировав данную четверку из точки E на окружность ω получим:

(L,D;K,B)E=(J,D;M,B)

Но заметим, что M - середина дуги BD, поэтому нужно показать JEM?=90, а это равносильно тому, что KELN - вписанный четырехугольник.

Просто замечательное утверждение:

Пусть M середина дуги AB окружности Ω, тогда 4 точки, образованные пересечением любых двух прямых (в данном случае желательно, чтобы прямые имели 2 пересечения с Ω), проходящих через точку M, с хордой AB и Ω вторично, образуют вписанный в окружность четырехугольник.

Далее просто потребуется посчитать углы:

(LK,LN)=(LB,MA)=(EK,EA)=(EK,EN)

Что и требовалось показать.