Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
Обозначим AM∩BD=T,AM∩KN=H. Очевидно, что M− середина дуги BD окружности ω. Поэтому ∠MED=∠MAD=∠MAB=∠MDB. Значит, описанная окружность △KED касается прямой BD, откуда MD2=MK∗ME. Аналогично, MD2=MT∗MA, то есть MK∗ME=MT∗MA. Значить четырехугольник ATKE вписанный.
Пусть прямая проходящая через точку E и перпендикулярная прямой ME пересекает прямую BC в точке L. Докажем, что точки K,E,N,L лежат на одной окружности.
Если L лежит на отрезке DC, то ∠LEN=90−∠AEK=90−∠KTH=∠TKH=∠NKL. Следовательно, четырехугольник KENL вписан в некоторую окружность ω1 с диаметром KL.Заметим, что в △BED отрезки EK и EL внутренняя и внешняя биссектрисы,то есть BKDK=BEDE=BLDL. Поэтому ω1− окружность Аполлония для точек B и D. Но так как N∈ω1, то BKKD=BNDN, или ∠BNK=∠DNK.
Если L не лежит на отрезке DC, то ∠LEN=∠AEK−90=∠KTM−90=∠TKH=∠NKL. Следовательно, четырехугольник KELN вписан в некоторую окружность ω1 с диаметром KL. Далее аналогично как в первом случае.
Замечание. Если плоскости даны две точки A и B, то геометрическое место точек (ГМТ) M, для которых AM:BM=k≠1 есть окружность ( окружность Аполлония).
Пусть точка G пересечение прямой KN и MO где О центр окружности w, а точка F пересечение Прямых AM и BC
Также заметим что AEKF вписан так как DM2=BM2=MK∗ME=MF∗MA
Так как NK ⊥ AM и MO ⊥ BD, тогда ∠KGM=∠AFK=∠KEC
Выходит что ENMG вписанный, и NK∗KG=MK∗KE, и EK∗KM=DK∗KB
Следует что GK∗KN=DK∗KB тоесть BGDN вписан, осталось доказать что GB=GD но это и так верно, ведь точка G лежит на высоте равнобедренного треугольника ODB опущенной из O где OD=OB
Пусть прямая параллельная AM, проходящая через точку N пересекает прямую DB в точке L, а прямая LE вторично пересекает ω в J. Если K - основание биссектрисы углы DNB, то (L,D;K,B)=−1, поэтому спроецировав данную четверку из точки E на окружность ω получим:
(L,D;K,B)E=(J,D;M,B)
Но заметим, что M - середина дуги BD, поэтому нужно показать ∠JEM?=90∘, а это равносильно тому, что KELN - вписанный четырехугольник.
Просто замечательное утверждение:
Пусть M середина дуги AB окружности Ω, тогда 4 точки, образованные пересечением любых двух прямых (в данном случае желательно, чтобы прямые имели 2 пересечения с Ω), проходящих через точку M, с хордой AB и Ω вторично, образуют вписанный в окружность четырехугольник.
Далее просто потребуется посчитать углы:
∠(LK,LN)=∠(LB,MA)=∠(EK,EA)=∠(EK,EN)
Что и требовалось показать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.