Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып

Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $BC$ гипотенузасының ортасы. $AC$ және $AB$ кесінділерінде $AE\cdot BE=AD\cdot CD$ болатындай сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері табылған. $ME=MD$ теңдігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Рассмотрим окружность $\omega,$ описанную около треугольника $ABC.$ Заметим что $M$ центр этой окружности. Более того, точки $D$ и $E$ лежат внутри этой окружности. Как известно, степень точки относительно окружности это разность квадрата расстояние от точки до центра и радиуса самой окружности. Вдобавок, для точек внутри окружности степень точки это произведение отрезков произвольной хорды, проходящей через данную точки, взятое со знаком минус. Таким образом, если $R$ радиус $\omega,$ а за $\deg(A,\omega)$ обозначим степень точки $A$ относительно $\omega,$ то $$-BE\cdot AE=\deg(E,\omega)=ME^2-R^2$$ $$-AD\cdot DC=\deg(D,\omega)=MD^2-R^2$$

А раз мы знаем, что $BE\cdot AE=AD\cdot DC,$ то $$ME^2-R^2=MD^2-R^2\Longrightarrow ME^2=MD^2\longrightarrow ME=MD$$

Эта же задача может быть решена без использования понятия "степени точки" методом координат

1) Введем систему координат, оси которой совпадают с катетами. То есть, ось $Y$ параллельна вектору $\overrightarrow{AB}$. А ось $X$ параллельна вектору $\overrightarrow{AC}$

2) Пусть координаты точек треугольника

$$A(0;0)\;\;\;B(0;b)\;\;\;C(c;0)$$

3) Рассчитаем координаты точки $M$:

$$x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{0+c}{2} = \dfrac{c}{2}$$

$$y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{b+0}{2} = \dfrac{b}{2}$$

4) Пусть точка $E$ имеет координаты $E(0;e)$, а точка $D$ имеет координаты $D(d;0)$

Установим взаимосвязь переменных $d$ и $e$, учитывая, что, по условию, $AE\cdot BE = AD\cdot CD$

$$AE\cdot BE = e\cdot (b-e)$$

$$AD\cdot CD = d\cdot (c-d)$$

$$AE\cdot BE - AD\cdot CD = \boxed{eb-e^2-dc+d^2 }= 0$$

5) Вычисли квадраты расстояний $ME^2$ и $MD^2$

$$ME^2 = \left(\dfrac{c}{2} \right)^2 +\left(\dfrac{b}{2}-e \right)^2 = \dfrac{c^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} - eb+e^2$$

$$MD^2 = \left(\dfrac{c}{2} - d \right)^2 +\left(\dfrac{b}{2} \right)^2 = \dfrac{c^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} - cd+d^2$$

6) Сравним квадраты расстояний $ME^2$ и $MD^2$. Если $ME^2=MD^2$, то из этого следует $ME = MD$

$$ME^2 - MD^2 = \dfrac{c^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} - eb+e^2 - \left(\dfrac{c^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} - cd+d^2 \right) =$$

$$=\boxed{-eb+e^2+dc-d^2 }= 0$$

Можно задать 2 вопроса

1)когда применять координаты

2)как научится их так круто использовать

Разумеется, задача несложная, но на форуме я видел не одно ваше решение координатным методом

По моему опыту, метод координат использовать удобно, когда

1)легко ввести систему координат, которая обеспечит лёгкий подсчёт координат вершин исходной фигуры. Когда я вижу прямой угол в задаче, это сразу наталкивает на мысль сделать из этого угла систему координат

2) если нет возможности или знаний использовать другие способы.

под теорему стюарта подставить просто можно по идее