Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Мұғалім тақтаға 10 бүтін теріс сандарды жазды. Вася осы сандарды дәптерге көшіріп жазды, содан кейін дәптерге барлық мүмкін жұптардың көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін үштіктерінің көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін төрттіктердің көбейтіндісін, $\ldots$, сосын барлық мүмкін тоғыздықтардың көбейтіндісін, ақырында барлық он санның көбейтіндісін дәптеріне көшіріп жазды. Вася жазған барлық сандардың қосындысы теріс сан болып шыққан. Сол қосынды нешеге тең бола алады? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $-1.$
Решение. Пусть на доске написаны числа $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{10}.$ Положим $A = (1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a-{10}).$ По условию все 10 сомножителей в правой части неположительны. Поэтому $A \ge 0.$ Заметим теперь, что, раскрыв все скобки в правой части, мы получим как раз сумму всех записанных Васей чисел, увеличенную на 1. Значит, сумма всех записанных Васей чисел не меньше, чем $-1,$ а так как она по условию отрицательна, то она равна $-1.$