Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 11 сынып


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышында H — ортоцентр, ал D және E нүктелері — сәйкесінше B және C төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары. Диаметрі DE болатын шеңбер AB және AC қабырғаларын тағы бір рет сәйкесінше F және G нүктелерінде қияды. FG және AH кесінділері K нүктесінде қиылысады. Егер BC=25, BD=20 және BE=7 болса, AK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 4 месяца назад #

из подобия BHE,CHD система уравнения

{CHBH=71520CH24BH=157

Откуда BH=354, CH=754 значит EH=214, DH=454 из подобия BHC, DHE откуда ED=15 , отметим что GF||BC так как FEDG вписанный, и BD,CE высоты, так как ED диаметр, то EG||BD.

Из подобия треугольников AED, ABC откуда

{ADAE+7=35AEAD+15=35

решением является AD=15, AE=18 значит AC=30, AB=25 треугольник ABC равнобедренный, найдя площадь S=20302=25AF2 где AF высота , откуда AF=24.

Из подобия AEG,ABD откуда EG=182520=725 значит GD=152(725)2=215 и AG=545 соответственно из подобия AKG,AFC откуда AK=AGACAF=21625 .