Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 11 сынып
Сүйірбұрышты ABC үшбұрышында H — ортоцентр, ал D және E нүктелері — сәйкесінше B және C төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары. Диаметрі DE болатын шеңбер AB және AC қабырғаларын тағы бір рет сәйкесінше F және G нүктелерінде қияды. FG және AH кесінділері K нүктесінде қиылысады. Егер BC=25, BD=20 және BE=7 болса, AK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
из подобия BHE,CHD система уравнения
{CHBH=71520−CH24−BH=157
Откуда BH=354, CH=754 значит EH=214, DH=454 из подобия BHC, DHE откуда ED=15 , отметим что GF||BC так как FEDG вписанный, и BD,CE высоты, так как ED диаметр, то EG||BD.
Из подобия треугольников AED, ABC откуда
{ADAE+7=35AEAD+15=35
решением является AD=15, AE=18 значит AC=30, AB=25 треугольник ABC равнобедренный, найдя площадь S=20⋅302=25⋅AF2 где AF высота , откуда AF=24.
Из подобия AEG,ABD откуда EG=1825⋅20=725 значит GD=√152−(725)2=215 и AG=545 соответственно из подобия AKG,AFC откуда AK=AGAC⋅AF=21625 .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.