Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс

Известно, что $a^{2019}+b^{2019}=P(a+b,ab)$ для некоторого многочлена $P(x,y)$ с целыми коэффициентами. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.

Комментарий/решение

Положим что $a+b=1, ab=1$ тогда $P(1,1)$ и будет определять сумму коэффициентов , значит надо найти значение выражения $P(1,1)=a^{2019}+\dfrac{1}{a^{2019}}$ учитывая что $a+\dfrac{1}{a}=1$ , отметим что $(a+\dfrac{1}{a})(a^{2018}+\dfrac{1}{a^{2018}}) = a^{2019}+\dfrac{1}{a^{2019}} + a^{2017}+\dfrac{1}{a^{2017}}$ или

$a^{2019} + \dfrac{1}{a^{2019}} = a^{2018}+\dfrac{1}{a^{2018}} -(a^{2017}+\dfrac{1}{a^{2017}})$ $(1)$

и $(a+\dfrac{1}{a})(a^{2017}+\dfrac{1}{a^{2017}}) = a^{2018}+\dfrac{1}{a^{2018}} + a^{2016} + \dfrac{1}{a^{2016}}$ или $a^{2017}+\dfrac{1}{a^{2017}} = a^{2018}+\dfrac{1}{a^{2018}} + a^{2016} + \dfrac{1}{a^{2016}}$ подставляя в $(1)$ откуда $S=a^{2019}+\dfrac{1}{a^{2019}} = -(a^{2016} + \dfrac{1}{a^{2016}})$ аналогично спускаясь вниз, откуда

$S=-(a^6+\dfrac{1}{a^6})=a^3+\dfrac{1}{a^3} = (a+\dfrac{1}{a})^3 - 3(a+\dfrac{1}{a}) = 1-3=-2$

Ответ $S=P(1,1)=-2$

По условию

$\left\{ \begin{gathered} a + b = 1,\\ ab=1. \end{gathered} \right.$

Решая систему, получаем

$a=\dfrac{1 \pm\ i\sqrt3}{2}=\cos60 \pm\ i\sin60$, $b=\dfrac{1 \mp\ i\sqrt3}{2}=\cos60 \mp\ i\sin60$,

Где $i^2=-1$.

Подставляя значения в исходный многочлен имеем:

$(\cos60 \pm\ i\sin60)^{2019} +(\cos60 \mp\ i\sin60)^{2019}=\cos(60*2019) \pm\ i\sin(60*2019) +\cos(60*2019) \mp\ i\sin(60*2019)=2\cos(60*2016+60*3)=2\cos180=2(-1)=-2$.

Ответ: $-2$