3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Найдите все решения уравнения: \[\frac{{\left( {M + A + T + O + L} \right)}}{{M - A - T + O + L}} = {M^{{A^{{T^{{O^L}}}}}}}\] если набор $(M,A,T,O,L)$ это перестановка чисел $(1,2,3,4,5)$.

Комментарий/решение

Ну сверху гарантированно сумма=15.

Снизу сумма меньше чем сверху, значит при делении может выйти 3,5 что невозможно.

$\frac{3+1+4+2+5}{3-1-4+2+5}=3^{1^{4^{2^{5}}}}$

Тупанул сорян..

JBMO 2014 shortlist

Всегда ненавидел такие задачи

Тоже…

Вне зависимости от расстановки чисел в числителе их сумма будет равна 15, знаменатель не может быть отрицателен т.к. все числа положительные единственное во что может превратится 15 это 3, 5 и 1

1 быть не может т.к. знаменатель < числителя $\Rightarrow$ $M$ либо 3, либо 5, но $А$ всегда 1 $\Rightarrow$ $\dfrac{15}{3-1-T+O+L}$ = $3^{1^{T^{O^{L}}}}$; $\dfrac{15}{5-1-T+O+L}$ = $5^{1^{T^{O^{L}}}}$ тогда сумма в знаменателе в первом случае должна быть 5 $\Rightarrow$ $M-A-T+O+L$ = $M+A+T+O+L-2A-2T$ = $15-2T$ = 5 $\Rightarrow$ T=5

аналогично во втором случае только сумма в знаменателе будет 3, поэтому $15-2T$ = 3 $\Rightarrow$ $T$ = 6 противоречие остальные ответы просто перестановки

Ответ: {3; 1; 5; 2; 4} {3; 1; 5; 4; 2}