3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Какие значения может принимать дробь $\frac{{\left( {ab + bc + ac} \right)(a + b + c) - abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}?$

Комментарий/решение

Раскройте и получите что снизу и сверху значение одинаковое.

Ответ:1.

$\dfrac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = $\dfrac{(ab+bc+ac)(a+b)+ac^2+bc^2+abc-abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = $\dfrac{(ab+bc+ac)(a+b)+c^2(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = $\dfrac{(ab+bc+ac+c^2)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = $\dfrac{(a(b+c)+c(b+c))(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = $\dfrac{(a+c)(b+c)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ = 1