Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Решите следующую систему уравнений в вещественных положительных числах: $$ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{1} +x_{2} + \dots +x_{n} =9,} \\ {\frac{1}{x_{1} }+\frac{1}{x_{2} }+ \dots +\frac{1}{x_{n} }=1.} \\ \end{array} }} \right. $$

Комментарий/решение

$Ответ:(3;3;3).$

С помощью неравенство о средних:

$\dfrac{9}{n}$=$\dfrac{x_{1}+x_{2}+...x_{n}}{n}$$\geq$$\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+...+\dfrac{1}{x_{n}}}=n$, тогда $9$$\geq$$n^2$ или $3$$\geq$$n$. При $n=3$ $x_{1}=x_{2}=x_{3}=3$. При $n=2$ и $n=1$ решений нет.

Разобран случай n=3. Остальные случаи не разобраны.

В случае

$n=1$ очевидно решений нет, а случай $n=3$ был разобран в предыдущем комментарии.

Рассмотрим $n=2$. Имеем

$ x_1+x_2=9$

$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=1$

$<=>$

$ x_1+x_2=9 $

$ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1$

$<=>$

$x_1+x_2=9 $

$ x_1x_2=9$

Из теоремы Виета следует, что $x_1$ и $x_2$ корни квадратного уравнения $x^2-9x+9$, откуда получаем $x_1=\dfrac{9+\sqrt{81-4\cdot 9}}{2}=\dfrac{9+\sqrt{81-36}}{2}=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}$ и $x_2=\dfrac{9-\sqrt{81-4\cdot 9}}{2}=\dfrac{9-\sqrt{81-36}}{2}=\dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}$ или наоборот.

Итак, получаем еще два решения при $n=2$: $\left(\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2} , \dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}\right), \left(\dfrac{9-3\sqrt{5}}{2} , \dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}\right)$.