Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Келесі теңдеулер жүйесін оң нақты саңдар жиынында шешіңдер: $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{n}}=9, \\ \dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=1. \\ \end{matrix} \right.$

Комментарий/решение

$Ответ:(3;3;3).$

С помощью неравенство о средних:

$\dfrac{9}{n}$=$\dfrac{x_{1}+x_{2}+...x_{n}}{n}$$\geq$$\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+...+\dfrac{1}{x_{n}}}=n$, тогда $9$$\geq$$n^2$ или $3$$\geq$$n$. При $n=3$ $x_{1}=x_{2}=x_{3}=3$. При $n=2$ и $n=1$ решений нет.