Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

Сүйірбұрышты теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы $\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған. $M$ нүктесі $BC$ кесіндісінің ортасы, ал $N$ нүктесі $\Gamma$ шеңберінің $A$ нүктесін қамтымайтын $\arc{BC}$ доғасының ортасы. $\Gamma$ шеңберінде $BX \parallel CY \parallel AM$ болатындай $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген. $BC$ кесіндісінде $XYZ$ шеңберіне сырттай сызылған шеңбер $BC$-ны жанайтындай $Z$ нүктесі табылған. $ZMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $\omega$ арқылы белгілейік. $AM$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қисын. $\omega$-дан $KN \parallel AM$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $\omega_b$ арқылы $B$ және $X$ нүктелері арқылы өтетін және $BC$ түзуін жанайтын шеңберді, ал $\omega_c$ арқылы $C$ және $Y$ нүктелері арқылы өтетін және $BC$ түзуін жанайтын шеңберді белгілейік. Центрі $K$ және радиусы $KP$ болатын шеңбер $\omega_b$, $\omega_c$ және $\Gamma$ шеңберлерімен жанасатынын дәлелдеңіз.