Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар
Комментарий/решение:
Задача эквивалентна параллельным переносом, такой задаче:
Пусть (O, w) окружность описанная около ABC, так же (O1,w1) окружность описанная около BOC тогда из условия w=w1 и O2∈OO1∩w1.
Пусть w2 окружность с радиусом O2B=O2C проведем биссектрису l из точки A и пусть M∈l∩w1 ,тогда ∠BMC=180∘−∠BAC=120∘ тогда M=I где I - инцентр, пусть I′∈O2I∩BC тогда по свойству инверсий, относительно w3 луч BC образ w1 так как ∠OIO2=90∘ так как OO2 диаметр, откуда ∠OIC=∠OBC=30∘ значит ∠CIO2=60∘ следовательно IO2 биссектриса ∠BIC. По условию CF,BE биссектрисы, тогда ∠FIB=60∘ тогда ΔBII′=ΔBIF по двум углам и стороне BI откуда BI′=BF и IF=II′ аналогично IE=II′ и CI′=CE учитывая что ∠FII′=∠EII′=120∘ значит FEI′ правильный откуда ∠BFE=∠BI′E . Пусть w3 окружность с центром I и R=II′. Пусть D∈w3∩BC тогда ∠BFD=∠BFE−∠DFE=∠BI′E−∠EI′C=180∘−2∠EI′C=∠ACB то есть FDCA вписанный, откуда ∠AFE=∠DFE аналогично ∠AEF=∠FED тогда AF=DF, AE=DE то есть D симметрична А относительна FE.
Пусть X,Y∈w2∩w3 тогда IX=IY, O2X=O2Y тогда XY||FE рассмотрим симметричную точку D′ относительно O2I к точке D тогда D′∈w3 и FD′||AC, ED′||AB тогда суть задачи доказать что ∠PAQ=∠BD′C>150∘, если T∈O1O2∩w2 тогда D′ лежит внутри сегмента BTC но ∠BTC=180∘−∠BO2C2=150∘ значит ∠PAQ=∠BD′C≥∠BTC=150∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.