Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар


BAC=60 болатын ABC үшбұрышында BE және CF биссектрисалары жүргізілген. P және Q нүктелері BFPE және CEQF төртбұрыштары параллелограмм болатындай нүктелер. PAQ>150 екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде AB қабырғасын қамтымайтын PAQ бұрышы қарастырылады.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 1 месяца назад #

Задача эквивалентна параллельным переносом, такой задаче:

Пусть (O, w) окружность описанная около ABC, так же (O1,w1) окружность описанная около BOC тогда из условия w=w1 и O2OO1w1.

Пусть w2 окружность с радиусом O2B=O2C проведем биссектрису l из точки A и пусть Mlw1 ,тогда BMC=180BAC=120 тогда M=I где I - инцентр, пусть IO2IBC тогда по свойству инверсий, относительно w3 луч BC образ w1 так как OIO2=90 так как OO2 диаметр, откуда OIC=OBC=30 значит CIO2=60 следовательно IO2 биссектриса BIC. По условию CF,BE биссектрисы, тогда FIB=60 тогда ΔBII=ΔBIF по двум углам и стороне BI откуда BI=BF и IF=II аналогично IE=II и CI=CE учитывая что FII=EII=120 значит FEI правильный откуда BFE=BIE . Пусть w3 окружность с центром I и R=II. Пусть Dw3BC тогда BFD=BFEDFE=BIEEIC=1802EIC=ACB то есть FDCA вписанный, откуда AFE=DFE аналогично AEF=FED тогда AF=DF, AE=DE то есть D симметрична А относительна FE.

Пусть X,Yw2w3 тогда IX=IY, O2X=O2Y тогда XY||FE рассмотрим симметричную точку D относительно O2I к точке D тогда Dw3 и FD||AC, ED||AB тогда суть задачи доказать что PAQ=BDC>150, если TO1O2w2 тогда D лежит внутри сегмента BTC но BTC=180BO2C2=150 значит PAQ=BDCBTC=150