Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар

$ABCD$ параллелограммы берілген. $K$ нүктесі $AD$ түзуінде $BK=AB$ болатындай жатыр. $P$ нүктесі — $AB$ түзуіндегі кез келген нүкте болсын. $PC$ кесіндісінің орта перпендикуляры $APD$-ға сырттай сызылған шеңберді $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AXY$ үшбұрышының ортоцентрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $Q=PC \cap (APD)$ и H ортоцентр $\triangle AXY$ и $R$ отражение $H$ относительно $XY$ легко увидеть что $R \in (APD)$. Так как $PC//AR$ и $P$ и $H$ симметричны $C$ и $R$ соответственно относительно $XY$ то $APQR$ и $PHRC$ и равнобокие трапеции отсюда: $AQ=PR=HC$ . Легко увидеть что $AQCH$-параллелограмм. Легко увидеть что $\triangle ABH=\triangle CDQ$ и $APQD$-вписанный отсюда получаем:$\angle AHB=\angle CQD=\angle PAD=\angle BKA$