Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар


ω1, ω2 және ω3 шеңберлері P нүктесі арқылы өтеді. ω1-ге P нүктесінде жүргізілген жанама ω2 және ω3-ті екінші рет сәйкесінше P1,2 және P1,3 нүктелерінде қиып өтеді. P2,1, P2,3, P3,1 және P3,2 нүктелері осыған ұқсас анықталады. P1,2P1,3, P2,1P2,3 және P3,1P3,2 кесінділерінің орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2 года 8 месяца назад #

Пусть P2.1P3.1 P1.3P2.3=A; P2.1P3.1 P1.2P3.2=B ; P1.2P3.2 P1.3P2.3=C

Простым счетом углов P2.1PP3.1=P3.2PP2.3=PP1.2P3.2=P2.3P1.3P

P3.1P2.1P=P3.1PP1.3=P3.2PP1.2=P1.3P2.3P

P2.1P3.1P=P2.1PP1.2=P1.3PP2.3=P1.2P3.2P

Тогда треугольники AP2.3P2.1 равнобедренный, и сер. пер. P2.3P2.1 и есть биссектриса A. Аналогично поступаем с остальными прямыми, и получаем что биссектрисы треугольника ABC пересекаются в одной точке.

  1
6 месяца 29 дней назад #

Пусть центр ωi есть Oi, тогда заметим, что по лемме о велосипедистах точка, дополняющая OiPOj до параллелограмма есть точка Qk, которая лежит на серединном перпендикуляре к Pk,iPk,j. Таким образом Q1Q2Q3 центрально-симметричен O1O2O3. Направление перпендикулярное касательной к ωi в P является OiP, то есть нужный серединный перпендикуляр, но все три OiP конкурентны в P, поэтому и нужная точка существует из симметрии.