Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар
Комментарий/решение:
Пусть P2.1P3.1∩ P1.3P2.3=A; P2.1P3.1∩ P1.2P3.2=B ; P1.2P3.2∩ P1.3P2.3=C
Простым счетом углов ∠P2.1PP3.1=∠P3.2PP2.3=∠PP1.2P3.2=∠P2.3P1.3P
∠P3.1P2.1P=∠P3.1PP1.3=∠P3.2PP1.2=∠P1.3P2.3P
∠P2.1P3.1P=∠P2.1PP1.2=∠P1.3PP2.3=∠P1.2P3.2P
Тогда треугольники △AP2.3P2.1 равнобедренный, и сер. пер. P2.3P2.1 и есть биссектриса ∠A. Аналогично поступаем с остальными прямыми, и получаем что биссектрисы треугольника △ABC пересекаются в одной точке.
Пусть центр ωi есть Oi, тогда заметим, что по лемме о велосипедистах точка, дополняющая OiPOj до параллелограмма есть точка Qk, которая лежит на серединном перпендикуляре к Pk,iPk,j. Таким образом △Q1Q2Q3 центрально-симметричен △O1O2O3. Направление перпендикулярное касательной к ωi в P является OiP, то есть нужный серединный перпендикуляр, но все три OiP конкурентны в P, поэтому и нужная точка существует из симметрии.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.