Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар
Центрлері сәйкесінше O1 және O2 болатын ω1 және ω2 шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады, ал O1 нүктесі ω2-де жатыр. ω1 шеңберінен кез келген P нүктесі алынған. BP, AP және O1O2 түзулері ω2-ны екінші рет сәйкесінше X, Y және C нүктелерінде қияды. XPYC төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение:∠CXB=α⇒∠BYC=180o−α⇒∠BYC=∠BO1C=180o−α
∠APB=∠AO1B2=∠BO1C=180o−α⇒{∠CXB=α∠APB=180o−α⇒AP∥XC
∠CYO1=90o,YO1⊥PB⇒∠PYE=90o−∠YPE=90o−(180o−α)=α−90o
∠PYC=∠PYE+∠CYE=α−90o+90o=α⇒{∠PYC=α∠YPX=180o−α⇒PX∥YC
Е-пересечение YO1 и PB то
∠O1BY=∠O1CY=∠O1AY т.к. все точки лежат на одной окружности и смотрят на одну дугу
Заметим, что O1P=O1A т.к. радиус. Тогда ∠O1AY=∠O1PA Так же известно, что ∠O1BP=∠O1PB
∠PBY=∠BPY⇒PY=PB известно, что серединный перпендикуляр PB проходит через O1 т.к. это центр описанной. Так же известно, что серединный перпендикуляр PB проходит через Y т.к. у равнобедренного треугольника и высота и медиана один отрезок. Значит YO1 лежит на серединном перпендикуляре и YE серединный перпендикуляр BP
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.