Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Бат, Великобритания


Найдите все пары (k,n) целых положительных чисел такие, что k!=(2n1)(2n2)(2n4)(2n2n1).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 3 месяца назад #

Найдем пары: (1:1),(3:2).

Теперь n>2. Давайте переведем формулу на более приятный лад:

k!=(2n2n1)(2n2n2)...(2n2)(2n1)=2n1(21)2n2(221)...21(2n11)20(2n1)=2n(n1)2(21)(221)...(2n1)

Заметим что в конце слогов после 2n(n1)2, n количество(имею ввиду про слоги типа:(21)(221)...(2n1)) . Ну по сути k-тый этот слог больше или равно k, соответственно 2n(n1)2(21)(221)...(2n1)n!. Значит nk.

Моя цель тут объяснить что в произведении разности степеней двоек справа имеет вид 2n(n1)2(21)(221)...(2n1), соответственно максимальная степень двойки на которую делится наше k! которому это число равно равна n(n1)2, а k кстати меньше равно n, значит n! хотя бы должен нацело делиться на 2n(n1)2.

Дело за малым, посмотрим на k!, четных слогов у него максимум k2, или же максимум n2, но по сути каждый этот четный слог меньше чем 2n1 (по индукции 2n1>n для n>2) и получается делиться не могут на 2n1. Умножаем на максимальное количество четных слогов n2(типо пройдемся по каждому четному слогу), получается произведение четных слогов вместе не смогут поделиться на степень двойки n2n1 (где n2 это количество четных слогов, а n1 степень на которую они не смогут поделиться). Получается n! не сможет поделиться на 2n(n1)2, но так как nk то и k! не сможет поделиться, соответственно ответы где n>2 невозможны.

пред. Правка 2   0
1 года 9 месяца назад #

там же получается k!n! откуда kn

  0
7 дней 12 часов назад #

Очевидно что k>V2(k!)=n(n1)2

Также k3<kS3(k)2=V3(k!)=n2+V3(n2!)<4n3 отсюда n5.