Бат, Великобритания
Комментарий/решение:
Найдем пары: (1:1),(3:2).
Теперь n>2. Давайте переведем формулу на более приятный лад:
k!=(2n−2n−1)(2n−2n−2)...(2n−2)(2n−1)=2n−1(2−1)2n−2(22−1)...21(2n−1−1)20(2n−1)=2n(n−1)2(2−1)(22−1)...(2n−1)
Заметим что в конце слогов после 2n(n−1)2, n количество(имею ввиду про слоги типа:(2−1)(22−1)...(2n−1)) . Ну по сути k-тый этот слог больше или равно k, соответственно 2n(n−1)2(2−1)(22−1)...(2n−1)≥n!. Значит n≥k.
Моя цель тут объяснить что в произведении разности степеней двоек справа имеет вид 2n(n−1)2(2−1)(22−1)...(2n−1), соответственно максимальная степень двойки на которую делится наше k! которому это число равно равна n(n−1)2, а k кстати меньше равно n, значит n! хотя бы должен нацело делиться на 2n(n−1)2.
Дело за малым, посмотрим на k!, четных слогов у него максимум k2, или же максимум n2, но по сути каждый этот четный слог меньше чем 2n−1 (по индукции 2n−1>n для n>2) и получается делиться не могут на 2n−1. Умножаем на максимальное количество четных слогов n2(типо пройдемся по каждому четному слогу), получается произведение четных слогов вместе не смогут поделиться на степень двойки n2∗n−1 (где n2 это количество четных слогов, а n−1 степень на которую они не смогут поделиться). Получается n! не сможет поделиться на 2n(n−1)2, но так как n≥k то и k! не сможет поделиться, соответственно ответы где n>2 невозможны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.