Бат, Великобритания, 2019 год

Задача №1. Пусть

$\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции

$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ такие, что для любых целых чисел

$a$ и

$b$ верно равенство

$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ точка

$A_1$ лежит на отрезке

$BC,$ а точка

$B_1$ лежит на отрезке

$AC.$ Пусть

$P$ и

$Q$ — точки на отрезках

$AA_1$ и

$BB_1$ соответственно, такие, что прямая

$PQ$ параллельна

$AB.$ Точка

$P_1,$ лежащая на прямой

$PB_1,$ такова, что

$B_1$ находится строго между

$P$ и

$P_1,$ причем

$\angle PP_1C=\angle BAC.$ Аналогично, точка

$Q_1$ , лежащая на прямой

$QA_1,$ такова, что

$A_1$ находится строго между

$Q$ и

$Q_1,$ причем

$\angle CQ_1Q=\angle CBA.$ Докажите, что точки

$P,$

$Q,$

$P_1$ и

$Q_1$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(3)

Задача №3. В социальной сети 2019 пользователей. Некоторые пользователи дружат с некоторыми другими, при этом отношение дружбы взаимно, то есть если пользователь

$A$ дружит с пользователем

$B$ , то

$B$ также дружит с

$A$ . Перестройки следующего типа производится последовательно, по одной перестройке за раз:
выбираются три пользователя

$A,$

$B$ и

$C$ таких, что

$A$ дружит и с

$B$ и с

$C$ , но

$B$ и

$C$ не дружат между собой; после чего

$B$ и

$C$ становятся друзьями, но

$A$ теперь не дружит ни с

$B,$ ни с

$C.$
Изначально 1010 пользователей имеют по 1009 друзей, а 1009 пользователей имеют по 1010 друзей. Докажите, что существует последовательность перестроек, после которой каждый пользователь будет иметь не более одного друга.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все пары

$(k,n)$ целых положительных чисел такие, что

$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Банк города Бат выпускает монеты с буквой

$H$ на одной стороне и буквой

$T$ на другой стороне. Гарри разложил

$n$ таких монет в ряд слева направо. Он последовательно производит следующую операцию: если в ряду ровно

$k > 0$ монет лежат букой

$H$ кверху, то он переворачивает

$k$ -ю слева монету; иначе все монеты лежат буквой

$T$ кверху, и он останавливается. Например, если

$n=3$ и процесс начинается с конфигурации

$THT,$ то последовательность операций выглядит так

$THT \to HHT \to TTT,$ то есть процесс остановится после трех операций.
a) Докажите, что при любой начальной конфигурации процесс остановится после конечного числа операций.
b) Для каждой начальной конфигурации

$C$ через

$L(C)$ обозначим количество операций, после которых процесс остановится. Например,

$L(THT) =3$ и

$L(TTT)=0.$ Найдите среднее арифметическое значений

$L(C),$ когда

$C$ пробегает все

$2^n$ возможных начальных конфигураций.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Пусть

$I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника

$ABC,$ в котором

$AB \ne AC.$ Вписанная окружность

$\omega$ треугольника

$ABC$ касается сторон

$BC,$

$CA$ и

$AB$ в точках

$D,$

$E$ и

$F$ соответственно. Прямая, проходящая через

$D$ и перпендикулярная

$EF,$ пересекает

$\omega$ вторично в точке

$R.$ Прямая

$AR$ пересекает

$\omega$ вторично в точке

$P.$ Окружности, описанные около треугольников

$PCE$ и

$PBF,$ пересекаются вторично в точке

$Q.$ Докажите, что прямые

$DI$ и

$PQ$ пересекаются на прямой, проходящей через

$A$ и перпендикулярной

$AI.$
комментарий/решение(3)

результаты