Processing math: 100%

Бат, Великобритания, 2019 год


Пусть I — центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, в котором ABAC. Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Прямая, проходящая через D и перпендикулярная EF, пересекает ω вторично в точке R. Прямая AR пересекает ω вторично в точке P. Окружности, описанные около треугольников PCE и PBF, пересекаются вторично в точке Q. Докажите, что прямые DI и PQ пересекаются на прямой, проходящей через A и перпендикулярной AI.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 9 месяца назад #

Опечатка: Прямая,проходящая через D и перпендикулярная EF, пересекает ω вторично в точке K

Тут не точка K, а R.

  1
4 года 6 месяца назад #

Спасибо! Опечатку исправили.

пред. Правка 3   10
2 года 9 месяца назад #

Пусть K=(AEF)(ABC), тогда K - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок EF в CB, обозначим ее за f. Очевидно, что f(A)=M. Пусть также DIAM=T. Несложным счетом углов можно убедиться, что ΔREFΔICB тогда f(R)=I. Пусть ID(IBC)=L, тогда f(D)=L, то есть ΔKADΔKDL, откуда ΔKAGΔKDL, откуда KAT=180KDT, значит KATD - вписанный. Несложным счетом углов можно понять, что ATDP - вписанный (так как ATD=90(AM,BC), а последний выражается через углы изначального треугольника, и RPD=RFD, который также считается), поэтому AKPDT - вписанный. BQC=BQP+CQP=BFP+CEP=FRE=BIC Значит BQIC - вписанный. Пусть PQ(BQIC)=N, тогда легко получить, что ΔEPFΔCNB, тогда f(P)=N, тогда точно также получаем, что ΔKPNΔKAG, тогда KPN+KPT=KAT+180KAT=180, откуда N,P,T лежат на одной прямой, а значит и PQ проходит через T