Бат, Великобритания, 2019 год
Комментарий/решение:
Пусть K=(AEF)∩(ABC), тогда K - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок EF в CB, обозначим ее за f. Очевидно, что f(A)=M. Пусть также DI∩AM=T. Несложным счетом углов можно убедиться, что ΔREF∼ΔICB тогда f(R)=I. Пусть ID∩(IBC)=L, тогда f(D)=L, то есть ΔKAD∼ΔKDL, откуда ΔKAG∼ΔKDL, откуда ∠KAT=180∘−∠KDT, значит KATD - вписанный. Несложным счетом углов можно понять, что ATDP - вписанный (так как ∠ATD=90∘−∠(AM,BC), а последний выражается через углы изначального треугольника, и ∠RPD=∠RFD, который также считается), поэтому AKPDT - вписанный. ∠BQC=∠BQP+∠CQP=∠BFP+∠CEP=∠FRE=∠BIC Значит BQIC - вписанный. Пусть PQ∩(BQIC)=N, тогда легко получить, что ΔEPF∼ΔCNB, тогда f(P)=N, тогда точно также получаем, что ΔKPN∼ΔKAG, тогда ∠KPN+∠KPT=∠KAT+180∘−∠KAT=180∘, откуда N,P,T лежат на одной прямой, а значит и PQ проходит через T
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.