Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Бат, Великобритания


Пусть \matbbZ — множество всех целых чисел. Найдите все функции \matbbZ\matbbZ такие, что для любых целых чисел a и b верно равенство f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
5 года 1 месяца назад #

Пусть P(a;b) означает данное равенство и f(0)=C.

P(0;a+b) f(f(a+b))=2f(a+b)+C (1)

P(a;0) f(2a)+2C=f(f(a)) (2)

P(0;a) C+2f(a)=f(f(a)) (3)

Сравнение (2) и (3) дает f(2a)=2f(a)C (4)

Применим (1) и (4) к начальному равенству :

2f(a)+2f(b)C=2f(a+b)+C

f(a)+f(b)=f(a+b)+C

Пусть f(a)=g(a)+C.Получим:

g(a)+g(b)=g(a+b) для целых a,b.

Так как f:ZZ ,то и g:ZZ

По равенству Коши для ф.-уравнений:

g(a)=ta где t=g(1), значит f(a)=ta+C.

Подставим в P(a;b) и получим t=2.

Ответ: f(a)=2a+C.

f(a)=0

пред. Правка 2   2
4 года 7 месяца назад #

Рассмотрим следующие два равенства :

P(1,x):f(2)+2f(x)=f(f(x+1))

P(0,x+1):f(0)+2f(x+1)=f(f(x+1))

Откуда получаем, что f(x+1)f(x)=f(2)f(0)2=C константа, xZ.

Поэтому f(x)=Cx+B линейная функция.(Легко доказать по индукции.) Подставив в условие находим ответ:

1)f(x)=0,xZ, и

2)f(x)=2x+B,xZ, для любой целой константы B.