Бат, Великобритания
Комментарий/решение:
Пусть P(a;b) означает данное равенство и f(0)=C.
P(0;a+b) f(f(a+b))=2f(a+b)+C (1)
P(a;0) f(2a)+2C=f(f(a)) (2)
P(0;a) C+2f(a)=f(f(a)) (3)
Сравнение (2) и (3) дает f(2a)=2f(a)−C (4)
Применим (1) и (4) к начальному равенству :
2f(a)+2f(b)−C=2f(a+b)+C
f(a)+f(b)=f(a+b)+C
Пусть f(a)=g(a)+C.Получим:
g(a)+g(b)=g(a+b) для целых a,b.
Так как f:Z→Z ,то и g:Z→Z
По равенству Коши для ф.-уравнений:
g(a)=ta где t=g(1), значит f(a)=ta+C.
Подставим в P(a;b) и получим t=2.
Ответ: f(a)=2a+C.
f(a)=0
Рассмотрим следующие два равенства :
P(1,x):f(2)+2f(x)=f(f(x+1))
P(0,x+1):f(0)+2f(x+1)=f(f(x+1))
Откуда получаем, что f(x+1)−f(x)=f(2)−f(0)2=C − константа, ∀x∈Z.
Поэтому f(x)=Cx+B − линейная функция.(Легко доказать по индукции.) Подставив в условие находим ответ:
1)f(x)=0,∀x∈Z, и
2)f(x)=2x+B,∀x∈Z, для любой целой константы B.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.