Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2019 год

Можно ли нарисовать на плоскости граф, изображенный на рисунке, так, чтобы вершинам соответствовали различные точки плоскости, а все ребра изображались бы отрезками единичной длины? (Отрезки могут пересекаться в точках, не являющихся вершинами.)

( A. Globus, H. Parshall )

Комментарий/решение

Ответ: Нет нельзя

Решение: Заметим что у нас должны получаться 3 фигуры имеющие одну общую точку - треугольник, 2 параллелограмма. А также они попарно имеют 1 общую точку. Тогда у треугольника углы равны 60 градусов, а у параллелограмма в сумме некоторые углы равны 60, так как из за того что в той точке где пересекаются все 3 фигуры, угол 360 градусов то сумма углов параллелограммов которые имеют вершину в той точке равна 300, отсюда сумма верхних углов равна 60. То есть, расстояние между точками параллелограммов которые не участвуют в пересечениях с другими фигурами равно 1, так как там угол 60 и 2 стороны равны 1. А значит что те 2 точки, 1 из которых это вершина треугольника и имеет 4 ребра, а вторая это одна из вершин параллелограмма о которой мы говорили ранее, и у нее 3 ребра, они равноудалены от последней точки на расстоянии 1, при этом есть еще 2 точки от которых они равноудалены на расстоянии 1, но такого просто не могло произойти так как две окружности пересекаются либо в 1, либо в двух либо во всех точках но никак не в 3. Поэтому не существует такого рисунка.