Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышта $\angle ACB > \angle ABC$. $BAC$ бұрыштың биссектрисасы $BC$ қабырғаны $D$ нүктесінде қияды. $AB$ және $AC$ қабырғаларында $\angle EDB=90{}^\circ $, $\angle BED=\angle DEF$ орындалатындай сәйкес $E$ және $F$ нүктелері таңдап алынған. $\angle BAD=\angle FDC$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Если $N \in BC \cap EF$ тогда следуя условию $BEN$ равнобедренный так как $ED$ биссектриса и высота. Если взять на стороне $AB$ точку $G$ что $DG=DF$ то $GF || BC$ и так как $AD$ биссектриса, то $FGDA$ вписанный, где $BC$ касательная, откуда $\angle BAD = \angle BDG = \angle FDC $

Зная, что биссектриса внутреннего и 2 биссектрисы внешнего угла треугольника пересикаются в 1 одной точке получаем, что FD- биссектриса угла EFC.

Возьмем

$$\angle DEB= \gamma, \angle DFE=\beta, \angle DAB=\alpha$$

Посчитая углы, получим что

$$\angle CDF=90-\gamma +2\alpha -\beta$$

Т.е. Нужно доказать:

$$90+2\alpha-\beta-\gamma=\alpha$$ или же

$$90+\alpha=\gamma+\beta$$

$$\angle EFA=180-2\beta,\angle FEA=180-2\gamma$$

$$\angle FEA+ \angle FAE+ \angle EFA= 360-2\beta-2\gamma+2\alpha=180 \Rightarrow 180+2\alpha=2\beta+2\gamma \Rightarrow 90+\alpha=\beta+\gamma$$

чтд