Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год

На прямоугольной клетчатой доске отмечено $N$ клеток. Пусть $a_i$ — количество отмеченных клеток в $i$-й строке, $b_j$ — количество отмеченных клеток в $j$-м столбце. Докажите, что $$\prod_i a_i! \prod_j b_j !\leqslant N!$$ ( Ф. Петров )