Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год
Докажите, что ни при каком натуральном n произведение
(14+12+1)(24+22+1)…(n4+n2+1)
не является точным квадратом.
(
K. Gaitanas
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение:xn=n4+n2+1=(n2+1)2−n2=(n2−n+1)(n2+n+1)
xn+1=((n+1)2−(n+1)+1)((n+1)2+(n+1)+1)=(n2+n+1)(n2+3n+3)
n∏k=1xk=3⋅(3⋅7)⋅(7⋅13)⋅...⋅((n2−n+1)⋅(n2+n+1))=(3⋅7⋅13⋅...⋅(n2−n+1))2⋅(n2+n+1)⇒
Число ∏nk=1xk будет точным квадратом тогда и только тогда, когда число (n2+n+1) также является точным квадратом.
⇒n2<n2+n+1<(n+1)2
Получили, что число (n2+n+1) лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел, т.е. не является полным квадратом.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.