Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год


Докажите, что ни при каком натуральном n произведение (14+12+1)(24+22+1)(n4+n2+1) не является точным квадратом. ( K. Gaitanas )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 9 месяца назад #

Решение:xn=n4+n2+1=(n2+1)2n2=(n2n+1)(n2+n+1)

xn+1=((n+1)2(n+1)+1)((n+1)2+(n+1)+1)=(n2+n+1)(n2+3n+3)

nk=1xk=3(37)(713)...((n2n+1)(n2+n+1))=(3713...(n2n+1))2(n2+n+1)

Число nk=1xk будет точным квадратом тогда и только тогда, когда число (n2+n+1) также является точным квадратом.

n2<n2+n+1<(n+1)2

Получили, что число (n2+n+1) лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел, т.е. не является полным квадратом.

  2
4 года назад #

Эта задача у нас на области была

http://matol.kz/comments/674/show

  1
4 года назад #

ха-ха, логично как получилось.

  1
4 года назад #

получается... задача международной олимпиады на области?