Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

Тақтада 1-ден 2002-ге дейін барлық бүтін сандар жазылған. Екі $A$ және $B$ оқушы тақтадан бірінен кейін бірі бір саннан өшіріп, ойын ойнап жатыр. Тақтада екі сан қалғанда ойын аяқталады. Егер тақтада қалған екі санның қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда $B$ оқушы жеңімпаз болып саналады, кері жағдайда $A$ оқушы жеңеді. Егер ойынды $A$ оқушы бастайтын болса, қай оқушы дұрыс ойнап, әрқашан жеңе алады?

Комментарий/решение

Прошу не читать предыдущее решение - словите кринж

Вот правильное: Выиграет игрок $B$. Чисел, дающих остаток (mod $3$) $1 - 668$, остаток $2 - 667$, и остаток $0 - 667$. У $В$ будет следующие стратегии к разным случаям:

1) Если $А$ первым ходом стер число $1$ по mod $3$, тогда игрок B стирает число $0$, тогда

$1 (mod$ $3) - 667,$

$2 (mod$ $3) - 667,$

$0 (mod$ $3) - 666$. Если игрок $А$ стирает число $1$, то $В$ - число $2$, и наоборот, а если же $А$ стирает $0$, то $В$ - тоже, в конце останутся числа, сумма которых делится на $3$

2) $А$ первым ходом стер число $0$ по $mod$ $3$, В должен убрать число $1$, дальше та же стратегия, что и в первом пункте

3) $А$ стер $2$ по mod $3$, тогда $В$ стирает число $1$:

$1 (mod$ $3) - 667,$

$2 (mod$ $3) - 666,$

$0 (mod$ $3) - 667$. Если $A$ стирает не двойку, то $В$ стирает второе оставшееся, остается по $666$ чисел каждого остатка, если игрок $А$ стирает число $1$, то $В$ - число $2$, и наоборот, а если же $А$ стирает $0$, то В - тоже, в конце останутся числа, сумма которых делится на $3$

Если А стирает двойку, то В стирает $1$, и это продолжается до тех пор, пока чисел $2$ не закончится, в конце остается $667$ нулей по мод $3$ и одна $1$, В может выбрать ее, тогда сумма : $3$