Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

Найдите последние две цифры числа ${{7}^{2013}}$.

Комментарий/решение

Две последние цифры числа суть остаток от деления числа на $100$. Нетрудно заметить, что $7^{4n}\equiv 01 \pmod{100}$, $7^{4n+1}\equiv 07 \pmod{100}$, $7^{4n+2}\equiv 49 \pmod{100}$, $7^{4n+3}\equiv 43 \pmod{100}$. Тогда $7^{2013}=7^{4 \cdot 503 +1} \equiv 07 \pmod{100}$, значит две последние цифры это $0$ и $7$.