Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2019 жыл

$a,$ $b,$ $c$ нақты өзара тең емес сандары үшін $a^2-b=b^2-c=c^2-a$ теңдігі орындалады. $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)$ өрнегінің мәнін нешеге тең?

Комментарий/решение

$$a^2-b=b^2-c \Rightarrow a^2-b^2=b-c \Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b} \Rightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}$$

$$ b^2-c=c^2-a \Rightarrow b+c+1=-\frac{a-b}{b-c}$$

$$ c^2-a=a^2-b \Rightarrow a+c+1=\frac{b-c}{a-c}$$

$$(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-\frac{a-c}{a-b}\cdot \frac{a-b}{b-c}\cdot\frac{b-c}{a-c}=-1$$