Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2019 жыл

Биссектриса угла $BAC,$ квадрата $ABCD,$ пересекает сторону $BC$ в точке $M.$ Докажите, что $AC=BC+BM.$

Комментарий/решение

$BC$ қабырғасын $B$ төбесінің жалғасы бойынша $BM=BK$ болатындай етіп созамыз. $A$ және $K$ нүктелерін кесіндімен қосып $\triangle AKC$ аламыз.

$\triangle AKM$ бойынша $KB=BM$ және $AB$ медиана әрі биіктік болғандықтан (себебі $\angle ABM=90^\circ$ ) $\triangle AKM$ тең бүйірлі. Сондықтан

$$\angle CAM=\angle MAB=\angle BAK=45^\circ/2=22,5^\circ$$

Енді $\triangle AKC$ үшбұрышында

$$\angle ACK=45^\circ, \angle CAK=22,5\cdot3=67,5$$

Сонда $$\angle AKC=180^\circ-45^\circ-67,5^\circ=67,5^\circ$$

болғандықтан $\triangle ACK$ теңбүйірлі. $AC=KC$

$$AC=KC=KB+BC=BM+BC$$ Д.К.О.

Биссектрисаның қасиеті бойынша $ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BM}{MC} $, онда $ AB=x, AC=x\sqrt2, BM=y, MC=y\sqrt2 $ деуге болады. $ AB=BC $, онда $ x=y(1+\sqrt2) $.

$ BC+BM=y(1+\sqrt2)+y=y(\sqrt2+2)=y(1+\sqrt2)\sqrt2=x\sqrt2=AC $