Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2019 жыл

$ABCD$ шаршысында $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $M$ нүктесінде қияды. $AC=BC+BM$ болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$Жауабы: 72^\circ$

$\angle C=\alpha$ деп белгілейміз. Сонда шарт бойынша $\angle B=2\alpha$ болады.

$AD=CD$ болғандықтан $\triangle ADC$ тең бүйірлі. $\angle BAD=\angle DAC=\angle ACD=\alpha$

$\triangle ABC$ ішкі бұрыштарының қосындысы $$2\alpha+2\alpha+\alpha=180^\circ$$

$$\alpha=36^\circ$$

$\angle BAC=2\alpha=2\cdot 36^\circ=72^\circ$