Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 6 сынып, 2019 жыл

Бөлмеде 40 адам, тек қана шындықты айтатын шыншылдар немесе тек қана өтірік айтатын өтірікшілер. Барлық 40 адамның бойларының ұзындығы әр түрлі екені белгілі. Әр адам келесі екі тұжырымның біреуін айтты: «кем дегенде 10 өтірікшінің бойының ұзындығы менен қысқа» немесе «кем дегенде 5 өтірікші бойының ұзындығы менен ұзын». Бөлмеде кемінде қанша шыншыл болуы мүмкін?

Комментарий/решение

Предположим, правдивых меньше 25. Тогда лжецов не менее 16. Рассмотрим 11-ого по росту лжеца. Существует 10 лжецов выше него и 5 лжецов ниже него. Тогда он скажет правду. Противоречие.

Пример для 25 правдивых:

Первые 10 по росту - лжецы. Последние 5 - тоже лжецы. Первые 10 скажут 1-ое утверждение, а последние 5 скажут 2-ое утверждение. Все они солгут. А правдивые скажут 1-ое утверждение