36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $X$ и $Y$ различные внутренние точки отрезка $BC$ такие, что $\angle CAX=\angle YAB$. Предположим, что
   1) Точки $K$ и $S$ — основания перпендикуляров из точки $B$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно;
   2) Точки $T$ и $L$ — основания перпендикуляров из точки $C$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно.
   Докажите, что прямые $KL$ и $ST$ пересекаются на прямой $BC$.

Комментарий/решение

$БОО$ предположим что $X$ лежит между $Y$ и $C$ и $T,S$ снаружи $\triangle ABC$.

Пусть $KL\cap BC=M_1 , ST\cap BC=M_2$

По Теореме Менелая и По Теореме Синусов

$\frac{XM_1}{M_1Y}=\frac{YL}{LA} * \frac{AK}{KX}$

$=\frac{CY*cos(\angle{BAY}+\angle {B})}{AC*cos\angle{CAY}}* \frac{AB.cos\angle{BAX}}{BX.cos(\angle{CAX}+\angle {C})}$

$=\frac{AB*CY}{AC*BX}.\frac{cos(\angle{BAY}+\angle {B})}{cos(\angle{CAX}+\angle {C})}$

Также

$\frac{XM_2}{M_2Y}=\frac{YS}{SA} * \frac{AT}{TX} = \frac{BY*AC}{CX*AB}*\frac{cos(\angle {BAY}+\angle {B})}{cos(\angle {CAX}+\angle {C})}$

Откуда $\frac{XM_1}{M_1Y}=\frac{XM_2}{M_2Y} \Leftrightarrow \left( \frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BX}{XC}.\frac{BY}{YC}$

Это общеизвестное соотношение, поэтому $M_1=M_2$.

Ну, поскольку никто еще не разгромил его, используя Менелая и Штайнера, вот оно:

Обратите внимание, что $KL$ и $ST$ разрезают $BC$ снаружи отрезка $[XY]$ и обозначают эти пересечения $U$ и $V$. Нам нужно доказать, что $U = V$, а поскольку и $U$, и $V$ лежат вне $[XY]$, достаточно показать, что:

$\frac{UX}{UY} = \frac{VX}{VY},$ или после применения теоремы Менелая в $\triangle AXY$,

$\frac{KX}{KA} \cdot \frac{LA}{LY} = \frac{TX}{TA} \cdot \frac{SA}{SY},$ который перезаписывается как:

$\frac{BX}{CY} \cdot \frac{AC}{AB} \cdot \frac{cos \angle CAY}{cos \angle BAX} \cdot \frac{cos \angle AXB}{cos \angle CYA } = \frac{CX}{BY} \cdot \frac{AB}{AC} \cdot \frac{cos \angle BAY}{cos \angle CAX} \cdot \frac{cos \angle AXB}{cos \angle CYA}$

Поскольку косинусы сокращаются из-за изогональности, это переписывается как:

$\frac{BX \cdot BY}{CX \cdot CY} = \frac{AB^2}{AC^2},$ что верно по теореме Штейнера. Сделанный.