36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год

Задача №1. Пусть

$\mathbb{P}$ — множество всех простых чисел. Определите все функции

$f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$ такие, что

$f{(p)^{f(q)}} + {q^p} = f{(q)^{f(p)}} + {p^q}$ для всех

$p, q \in \mathbb{P}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Пусть

$a,b,c$ — действительные числа такие, что

$0 \le a \le b \le c$ и

$a+b+c=ab+bc+ac>0$ . Докажите, что

$\sqrt{bc}(a+1) \ge 2.$ Определите все тройки

$(a,b,c)$ , для которых достигается равенство.
комментарий/решение(4)

Задача №3. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник

$ABC$ . Пусть

$X$ и

$Y$ различные внутренние точки отрезка

$BC$ такие, что

$\angle CAX=\angle YAB$ . Предположим, что
1) Точки

$K$ и

$S$ — основания перпендикуляров из точки

$B$ на прямые

$AX$ и

$AY$ соответственно;
2) Точки

$T$ и

$L$ — основания перпендикуляров из точки

$C$ на прямые

$AX$ и

$AY$ соответственно.
Докажите, что прямые

$KL$ и

$ST$ пересекаются на прямой

$BC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дана решетка, состоящая из всех точек с координатами

$(m,n)$ , где

$m$ и

$n$ целые числа, такие, что

$|m| \le 2019,$

$|n| \le 2019$ и

$|m| + |n| < 4038.$ Назовем точку

$(m,n)$ решетки граничной точкой, если

$|m| = 2019$ или

$|n| = 2019.$ Четыре прямые, определяемые уравнениями,

$x = \pm 2019$ и

$y = \pm 2019,$ назовем граничными прямыми. Две точки решетки назовем соседними, если расстояние между ними равно 1.
Анна и Боб играют в следующую игру на этой решетке. Изначально у Анны есть фишка, находящаяся в точке

$(0,0).$ Анна и Боб по очереди делают ходы, причем первым ходит Боб:
   a) На каждом своем ходе Боб удаляет не более двух граничных точек на каждой из граничных прямых;
   b) На каждом своем ходе Анна совершает ровно три шага, где шагом называется перемещение фишки из точки, в которой фишка находится сейчас, в любую соседнюю еще не удаленную точку.
   Как только фишка Анны достигнет граничной точки, которая не была удалена, игра в тот же момент заканчивается, и Анна признается победителем. Есть ли у Анны выигрышная стратегия?
комментарий/решение

результаты