36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год
Пусть a,b,c — действительные числа такие, что 0≤a≤b≤c и a+b+c=ab+bc+ac>0. Докажите, что √bc(a+1)≥2. Определите все тройки (a,b,c), для которых достигается равенство.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Доказательство.
a+b+c=ab+ac+bc⇒bc=a+(1−a)(b+c)
Рассмотрим 2 случая: 1)a∈[0,1]:bc=a+(1−a)(b+c)≥a+2(1−a)√bc⇒f(√bc)=bc−2(1−a)√bc−a≥0(1)
Квадратная функция y=f(√bc) определена на интервале √bc∈(0,+∞) то для всех √bc∈(0,+∞) справедлива неравенства (1).
∀a∈[0,1]:√bc≥2a+1≥1⇒f(2a+1)=a(a−1)2(a+1)≥0
Поэтому равенство достигнется только при a=1,a=0⇒(1,1,1),(0,2,2)
2)a>1⇒c≥b≥a>1⇒c>1,b>1⇒√bc(a+1)>2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.