Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

$M$ және $N$ нүктелері $ABC$ үшбұрышының сәйкесінше $AB$ және $BC$ қабырғаларының ортасы. $CM$ кесіндісінің $M$ нүктесінен арғы созындысында $D$ нүктесі белгіленген. Сонда $BC = BD = 2$ және $AN = 3$ болып шыққан. $\angle ADC = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Обозначим через $K$ точку пересечения медиан $AN$ и $CM$. По свойству медиан $KC = 2KM$ и $AK = 2KN$. Поскольку к тому же $AN = 3,$ то $KN = 1.$ Таким образом в треугольнике $BKC$ медиана к стороне $BC$ равна $1 = BC/2,$ поэтому $\angle BKC = 90^\circ.$ Это означает, что $BK$ — высота треугольника $BCD,$ в котором $BD = BC.$ Следовательно, $BK$ — его медиана. Поэтому $DK = KC = 2KM,$ откуда $KM = DK/2 = DM.$ Получается, что диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то есть $ADBK$ — параллелограмм. Значит, $BK \parallel AD,$ откуда $\angle ADC = \angle BKD = 90^\circ$, что и требовалось доказать.