Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

KK42 құрылғысы келесідей жұмыс істейді: егер сіз оған төрт шар салсаңыз, онда бірінші науаға салмағы бойынша екінші шар түседі (яғни, егер $a > b > c > d$ болса $b$ шары түседі), ал екінші науада қалғандары түседі. Егер құрылғыға 4-тен өзгеше шар салынса, құрылғы жұмыс істемейді. Сырт пішіндері бірдей, салмақтары қос-қостан әртүрлі 100 шар бар. Оларды $ 1, 2, \ldots, 100$ сандарымен нөмірленген. Құрылғыны 100-ден артық емес қолдану арқылы ең ауыр шарды қалай табуға болады? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Сначала каждый раз кладем в прибор 4 не отложенных ранее шарика и откладываем тот, который выпал в первый лоток. После 97 проб у нас остались не отложенными самый тяжелый и два самых легких шарика, так как ни один из них выпасть в первый лоток не может. Пусть их номера — $x, y, z.$ Выберем из отложенных любые три шарика $a, b, c$ и проделаем последние три пробы: $(x, a, b, c),$ $(y, a, b, c),$ $(z, a, b, c).$ В результате два раза в первый лоток выпадет второй по весу шарик из $a,$ $b,$ $c$ и один — когда вместе с $a, b, c$ в пробе участвует самый тяжёлый шарик из всех ста — самый тяжелый шарик из $a, b, c.$ Таким образом, самый тяжёлый шарик из всех — это шарик из $x,$ $y,$ $z,$ участвовавший в той из трёх последних проб, в которой в первый лоток выпал не тот шарик, что в двух других.