Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $\angle ABC=\angle AED=90^\circ,$ $\angle ACB=\angle ADE.$ Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $BC$ и $DE$ соответственно. Отрезки $CQ$ и $DP$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что $AX \perp BE.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Сформулируем и докажем лемму об изогоналях.
Лемма. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $\angle BAE=\angle DAF$. Прямые $DE$ и $BF$ пересекаются в точке $K$. Пусть лежит $K$ внутри треугольника $ACF$ (возможно $K \in AC$). Тогда $\angle CAE=\angle FAK$.
Доказательство . Обозначим $\angle BAE=\angle DAF =\alpha$, $\angle EAF=\varphi$, $\angle EAC=x$, $\angle FAK=y$. По теореме Менелая \[1 = \frac{{CB}}{{BE}} \cdot \frac{{EK}}{{KD}} \cdot \frac{{DF}}{{FC}} = \frac{{AC}}{{AE}} \cdot \frac{{\sin \left( {\alpha + x} \right)}}{{\sin \alpha }} \cdot \frac{{AE}}{{AD}} \cdot \frac{{\sin (\varphi - y)}}{{\sin (\alpha + y)}} \cdot \frac{{AD}}{{AC}} \cdot \frac{{\sin \alpha }}{{\sin (\varphi - x)}}. \] Следовательно, $\sin \left( {\alpha + x} \right) \cdot \sin (\varphi - y) = \sin (\alpha + y) \cdot \sin (\varphi - x).$ Преобразовав последнее равенство (применяя формулу для произведения синусов), получим $\cos (\alpha + x + \varphi - y) = \cos (\alpha + y + \varphi -x).$ Так как аргументы последних косинусов меньше $180^\circ$, то $\alpha + x + \varphi - y = \alpha + y + \varphi -x$ или $x=y$. Лемма доказана.