Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

Вещественные числа $a,~b$ удовлетворяют соотношениям $ a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6. $ Найдите значение выражения $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$.

Комментарий/решение

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}+1-2= \frac{a}{b}+\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}-2=a(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+b(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})-2=$$ $$=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-2=6^2-2=34$$

$a+b=1/a+1/b=b/ab+a/ab=(a+b)/ab$

$a+b=(a+b)/ab$, из этого следует, что ab=1.

$a/b+b/a$=$ a^2/ab+b^2/ab=$$(a^2+b^2$)/ab=$a^2+b^2$

$a^2+b^2=a^2+b^2+2ab-2ab$=$(a+b)^2-2ab$.

Из условия: $a+b=6$, $(a+b)^2$=$6^2=36$

$36-2ab=36-2*1=34$

$\frac {a+b}{ab}=a+b=6$ $\Rightarrow ab=1$

$\frac {a^2+b^2}{ab}=a^2+b^2$

$(a+b)^2=a^2+2+b^2=36$

$a^2+b^2=34$