Решения: Республиканская олимпиада, Областной этап

Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Каждая точка плоскости окрашена в один из четырех цветов. Докажите, что найдутся две точки

$A$ и

$B$ одного цвета такие, что

$AB=1$ или

$AB=\sqrt{3}$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Решим задачу от противного. Полагая, что не найдутся две точки $A$ и $B$ , удовлетворяющие условию задачи, сформулируем и докажем две леммы.
Лемма 1. Все четыре вершины ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$ покрашены в разные цвета.
Доказательство . Легко посчитать, что диагонали такого ромба равны 1 и $\sqrt{3}$ , следовательно по предположению четыре вершины ромба имеют разный цвет.

Лемма 2. Любые две точки на расстоянии 2 покрашены в одинаковый цвет.
Доказательство . Рассмотрим произвольные точки

$X$ и

$Y$ такие, что

$XY=2$ . Отметим точки

$A,$

$B,$

$C$ так, что

$AXB,$

$ABC,$

$ACY$ равносторонние треугольники со стороной 1. По лемме 1 точки

$A,$

$X,$

$B,$

$C$ покрашены в разные цвета. Также по лемме 1 точки

$A,$

$B,$

$C,$

$Y$ покрашены в разные цвета. Следовательно точки

$X$ и

$Y$ одного цвета.

Вернемся к решению. Рассмотрим треугольник

$XYZ,$ где

$XY=YZ=2$ и

$XZ=1.$ По лемме 2 точки

$X$ и

$Y$ одного цвета. Также по лемме 2 точки

$Y$ и

$Z$ одного цвета. Следовательно точки

$X$ и

$Z$ одного цвета и

$XZ=1,$ противоречие.