Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Найдите число способов заполнения клеток таблицы $2019\times 2019$ числами из множества $\{-2,-1,1,2\}$ так, чтобы произведения чисел в каждой строке и в каждом столбце были равны $-2$ (минус два).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $2019! \cdot 2^{2018^2}.$
Решение. Пронумеруем строки и столбцы числами $1,2,\ldots,2019.$ Пусть $a_{i,j}$ — число, записанное на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, где $1 \le i,j \le 2019.$ Из условия следует, что в каждой строке и в каждом столбце должно быть ровно одно число, модуль которого равен 2, а все остальные числа в таблице должны быть по модулю равны 1. Количество заполнений таблицы числа 1 и 2 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце было ровно одно число 2, равно $2019!$. Для каждой такой расстановки подсчитаем, сколькими способами этим числам можем поставить знаки плюс или минус так, чтобы выполнилось условие задачи. $2^{2018^2}$ способами мы можем расставить знаки числам $a_{i,j},$ где $1 \le i,j \le 2018.$ Так как произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце должно быть равен 2, то знаки всех чисел $a_{i,2019}$ и $a_{2019,j}$ определяются однозначно для всех $1 \le i,j\le 2018.$ Так как произведение чисел в первых 2018 строках равно произведению чисел в первых 2018 столбцах (оба числа равны $(-2)^{2018},$) имеем $$\prod\limits_{i = 1}^{2018} {{a_{i,2019}}} = \prod\limits_{j = 1}^{2018} {{a_{2019,j}}} ,$$ следовательно, знак числа $a_{2019,2019}$ определяется однозначно. В итоге, количество заполнений, удовлетворяющих условию задачи будет равно $2019! \cdot 2^{2018^2}.$