Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Две окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B.$ Прямая $O_1 A$ пересекает $\Gamma_2$ во второй раз в точке $C,$ а прямая $O_2 A$ пересекает $\Gamma_1$ во второй раз в точке $D.$ Прямая $\ell$, параллельная $AD$, пересекает $\Gamma_1$ в точках $B$ и $E.$ Известно, что $O_1A \parallel DE.$ Докажите, что $CD \perp O_2 C$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Как известно, прямая, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Также известно, что концы двух параллельных хорд окружности являются вершинами равнобокой трапеции. Следовательно, $AB \perp O_1O_2$ и $ ABED$ — равнобокая трапеция (см. рис. ниже). Так как $ED \parallel O_1A$, то из симметрии, относительно серединных перпендикуляров $AD$ и $EB$, следует параллельность ${DO_1 \parallel AB}$, то есть $\angle DO_1O_2 =90^\circ$.