Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 10 сынып
Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының ортоцентрі H нүктесі болсын. Егер AHB, BHC, CHA үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, ABC үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и ∠CAM = ∠CBM, то AD = BE. Поэтому CD < CE.
С другой стороны, поскольку BC > AC, то ∠BAC > ∠ABC. Поэтому
∠MCA = 90o - ∠BAC < 90o - ∠ABC = ∠BCM.
Тогда
CD = r cos12∠MCA > r cos12∠BCM = CE,
что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше AC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.