Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 10 сынып


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының ортоцентрі H нүктесі болсын. Егер AHB, BHC, CHA үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, ABC үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 4 месяца назад #

Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и CAM = CBM, то AD = BE. Поэтому CD < CE.

С другой стороны, поскольку BC > AC, то BAC > ABC. Поэтому

MCA = 90o - BAC < 90o - ABC = BCM.

Тогда

CD = r cos12MCA > r cos12BCM = CE,

что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше AC.