Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 9 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $O$ болсын. Егер $AOB,$ $BOC,$ $COA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, $ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

) Пусть $O_1, O_2, O_3$ — центры вписанных окружностей треугольников AMB, BMC и AMC. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM — биссектриса угла ABC, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM в одной и той же точке (рис.2). Аналогично для остальных пар окружностей.

Поскольку биссектрисы треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника $O_1O_2O_3$, то точка M — центр треугольника $O_1O_2O_3$. Поэтому, например, $\angle$BMC = 120°, а т.к. $\angle$BMC = 90° + ${\frac{1}{2}}$$\angle$A, то $\angle$A = 60°. Аналогично $\angle$B = 60°.