Processing math: 100%

Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып


a — ның қандай мәнінде {x+y+z=a+1,xy+yz+zx=2a,xyz=a, теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі бар?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   1 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

Решение: Перепишем систему:

{x1+x2+x3=a+1,x1x2+x2x3+x3x1=2a,x1x2x3=a.

Применив теорему Виета для кубического уравнения, получим:

x3(a+1)x2+2axa=0.

Очевидно, корнем данного уравнения является x=1. Применив теорему Безу, получим:

(x1)(x2ax+a)=0.

Квадратное уравнение x2ax+a имеет решение при a(;0][4;+).

Ответ: a(;0][4;+).

пред. Правка 2   5
1 года 2 месяца назад #

шешуі:

Есепті шешудің басындағы келтірілген ұйғарым дұрыс. Виет теоремасы бойынша x,y,z нақты сандары

t3(a+1)t2+2ata

түбірлері болады. Әрі қарай, авторлар а параметрінің мәндерін анықтауда туындының көмегіне жүгінген, алайда функцияның туындысын тауып, оны нольге теңестірудің қажеті жоқ. Олай болса көпмүшені алдымен көбейткіштерге жіктейік. Сонда

t3(a+1)t2+2ata=(t1)(t2a(t1))

болады.

Енді (t1)(t2a(t1))=0 теңдеуін шешейік:

t1=0t=1.

Ал -ның кез - келген мәнінде t=1, t3(a+1)t2+2ata көпмүшесінің түбірі болады.

t2a(t1)=0,

бұдан a4 және a0.

Жауабы:

1) Егер a=4 және a=0 болса, онда x,y,z тің кандай да бір екеуі өзара тең болатын нақты сандар, яғни жүйенің нақты шешімдері бар.

2) Егер a>4 және a<0 болса, онда x,y,z әртүрлі нақты сандары, жүйенің нақты шешімдері болады.

3) Егер 0<a<4 болса, онда берілген жүйенің нақты шешімдері болмайды.