Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Решение: Перепишем систему:
{x1+x2+x3=a+1,x1x2+x2x3+x3x1=2a,x1x2x3=a.
Применив теорему Виета для кубического уравнения, получим:
x3−(a+1)x2+2ax−a=0.
Очевидно, корнем данного уравнения является x=1. Применив теорему Безу, получим:
(x−1)(x2−ax+a)=0.
Квадратное уравнение x2−ax+a имеет решение при a∈(−∞;0]∪[4;+∞).
Ответ: a∈(−∞;0]∪[4;+∞).
шешуі:
Есепті шешудің басындағы келтірілген ұйғарым дұрыс. Виет теоремасы бойынша x,y,z нақты сандары
t3−(a+1)t2+2at−a
түбірлері болады. Әрі қарай, авторлар а параметрінің мәндерін анықтауда туындының көмегіне жүгінген, алайда функцияның туындысын тауып, оны нольге теңестірудің қажеті жоқ. Олай болса көпмүшені алдымен көбейткіштерге жіктейік. Сонда
t3−(a+1)t2+2at−a=(t−1)(t2−a(t−1))
болады.
Енді (t−1)(t2−a(t−1))=0 теңдеуін шешейік:
t−1=0⇒t=1.
Ал -ның кез - келген мәнінде t=1, t3−(a+1)t2+2at−a көпмүшесінің түбірі болады.
t2−a(t−1)=0,
бұдан a≥4 және a≤0.
Жауабы:
1) Егер a=4 және a=0 болса, онда x,y,z тің кандай да бір екеуі өзара тең болатын нақты сандар, яғни жүйенің нақты шешімдері бар.
2) Егер a>4 және a<0 болса, онда x,y,z әртүрлі нақты сандары, жүйенің нақты шешімдері болады.
3) Егер 0<a<4 болса, онда берілген жүйенің нақты шешімдері болмайды.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.