Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

$a$ — ның қандай мәнінде $\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = a + 1,\\ xy + yz + zx = 2a,\\ xyz = a, \end{array} \right.$ теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі бар?

Комментарий/решение

Решение: Перепишем систему:

$\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3&=&a+1,\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=&2a,\\x_1x_2x_3&=&a.\end{array}\right.$

Применив теорему Виета для кубического уравнения, получим:

$x^3-(a+1)x^2+2ax-a=0$.

Очевидно, корнем данного уравнения является $x=1$. Применив теорему Безу, получим:

$(x-1)(x^2-ax+a)=0$.

Квадратное уравнение $x^2-ax+a$ имеет решение при $a \in (-\infty;0] \cup [4;+\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty;0] \cup [4;+\infty)$.

шешуі:

Есепті шешудің басындағы келтірілген ұйғарым дұрыс. Виет теоремасы бойынша $x, y, z$ нақты сандары

\[ t^3 - (a + 1)t^2 + 2at - a \]

түбірлері болады. Әрі қарай, авторлар а параметрінің мәндерін анықтауда туындының көмегіне жүгінген, алайда функцияның туындысын тауып, оны нольге теңестірудің қажеті жоқ. Олай болса көпмүшені алдымен көбейткіштерге жіктейік. Сонда

\[ t^3 - (a + 1)t^2 + 2at - a = (t - 1)(t^2 - a(t - 1)) \]

болады.

Енді $(t - 1)(t^2 - a(t - 1)) = 0$ теңдеуін шешейік:

\[ t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1. \]

Ал -ның кез - келген мәнінде $t = 1$, $t^3 - (a + 1)t^2 + 2at - a$ көпмүшесінің түбірі болады.

\[ t^2 - a(t - 1) = 0, \]

бұдан $a \geq 4$ және $a \leq 0$.

Жауабы:

1) Егер $a = 4$ және $a = 0$ болса, онда $x, y, z$ тің кандай да бір екеуі өзара тең болатын нақты сандар, яғни жүйенің нақты шешімдері бар.

2) Егер $a > 4$ және $a < 0$ болса, онда $x, y, z$ әртүрлі нақты сандары, жүйенің нақты шешімдері болады.

3) Егер $0 < a < 4$ болса, онда берілген жүйенің нақты шешімдері болмайды.