Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Автотұрақта машиналар тұр. Олардың арасында «Тойота», «Хонда», «Шкода» маркалы, сондай-ақ маркасы басқа машиналар да бар. Маркасы «Хонда» емес машиналардың саны түсі қызыл емес машиналар санынан бір жарым есе артық, маркасы «Шкода» емес машиналардың саны түсі сары емес машиналар санынан бір жарым есе артық, ал маркасы «Тойота» емес машиналардың саны түсі сары және қызыл машиналардың жалпы санынан екі есе аз екені белгілі. «Тойота»-лардың саны «Хонда» мен «Шкода»-лардың жалпы санынан кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( А. Солынин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть на стоянке всего $C$ машин, среди которых $T$ «Тойот», $H$ «Хонд» и $S$ «Шкод», а также $X$ красных и $Y$ желтых. По условию $C-H = 3(C-X)/2,$ $C-S = 3(C-Y)/2,$ $C-T = (X+Y)/2.$ Сложив два первых равенства, после приведения подобных получаем: $-H-S = С-3(X+Y)/2,$ откуда $H+S = -C+3(C-T) \Leftrightarrow 3T+H+S = 2С.$ Заменив в правой части последнего равенства $C$ на $H+S+T,$ мы не увеличим ее и получим неравенство $3T+H+S \ge 2H+2S+2T \Leftrightarrow T \ge H+S,$ что и требовалось доказать.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Так как красных и жёлтых машин вместе не больше, чем всего машин на стоянке, не «Тойот» на стоянке не больше половины от общего числа машин. Значит, «Тойот» — не меньше половины общего числа машин. Так как «Хонды» и «Шкоды» — явно не «Тойоты», их не больше половины от общего числа машин, откуда и следует утверждение задачи.