Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс

Длина высоты $AD$ треугольника $ABC$ в два раза меньше длины стороны $BC$. Может ли угол $A$ быть тупым?

Комментарий/решение

Если положить что углы $\angle ABC, \angle BCA$ , равны соответственно $x,y$ , то получим уравнение $ctgx+ctgy=2$ которое следует из условия , преобразуем его , положим что угол $A$ тупой тогда $ctgx+ctg(\pi-x-A)=2$ , если $A$ действительно тупой угол , то $\pi-A=z<\dfrac{\pi}{2}$. Откуда получим выражения $tgz=\dfrac{ cos2x-1}{1-sin2x}$ , но $cos2x+sin2x<2$, значит $\dfrac{cos2x-1}{1-sin2x}<0$ , то есть $tgz<0$ получим решение $\dfrac{\pi}{2}<z<\pi$ , но это противоречит тому , что угол должен быть острым , значит $A$ не превосходит прямого угла .

Ответ нет

h_Другой способ решения@http://matol.kz/comments/46/show_h